Hubbard 模型(四):费米 Hubbard 模型:简单





Hubbard 模型(四):费米 Hubbard 模型:简单

图一

在前文中我们定义了费米 Hubbard 模型,并花了一点空间讨论当跃迁常数 t 与交互作用 U 都不为零,但后者远大于前者的时候,透过一个二阶的量子过程,半填满的晶格在能量上会偏好相邻的两个费米子拥有反向的自旋,这构成了「反铁磁性」(antiferromagnetism)的可能性。

事实上,这个物理直觉约略是正确了,但仅仅两个节点,一般而言不太能给我们精确的「物质相」预测,因为后者往往是定义在热力学极限(thermodynamic limit),意指在系统自由度趋近无限大的时候。

在最简单的立方晶格,并考虑费米子仅仅能在相邻的节点间跃迁,读者可以说服自己,这样的晶格其实可以像图二所示一样,区分为两个子晶格,分别由白色圆圈和黑色圆圈表示。根据我们的假设,粒子的跃迁只能让它们从黑跳到白或白跳到黑,而不能直接在同色圆圈之间跃迁。当一个晶格可以被区分为这样两部分时,数学上可以证明基态的总自旋量是两类圆圈数目的差除以 2(Lieb 定理)。在图一这样简单的几何中,黑色圆圈和白色圆圈的数目是一样的,因而基态的自旋角动量为 0 ,因而在可数的系统中,我们至少可以确定基态的总自旋角动量是 0。

Hubbard 模型(四):费米 Hubbard 模型:简单

图二

严格来说,上述这个在有限系统证明的数学定理没有办法直接推广到决定物质相所需要的热力学极限,我们能说的只是在这个状况下不具有铁磁性,而反铁磁相这个推测则需要更精确的计算去证实。

有趣的是,当我们换个几何结构,见图一,这样的晶格结构可以在 CuO 之类的化合物被发现,它符合前面分为两个子晶格的规则(在本图中为蓝色圆圈及红色圆圈)但这两种圆圈的数目显然是不一样的。如果晶格的尺寸为 \(L\times L\),那幺我们有 \(L\times L\) 个蓝色,但却有 \(2L\times L\) 个红色,根据上面的数学定理,总共的角动量为 \(\frac{L^2}{2}\)。注意这并不是铁磁性,因为若是在铁磁相,所有的自旋都指向同一个方向,则我们应该要有\(3L^2\)。这里的净磁矩,或说自旋,并不是因为相邻的费米子们喜欢将自旋摆在同一个方向,只是因为其中一个方向的数目比另一个方向多得多,因而累积出的巨观磁矩,这种有一点净磁矩但还差铁磁一段路的性质,通常称为亚铁磁性(ferrimagnetism)。

上面这个例子也告诉我们,儘管我们透过一些小小的量子力学模型(比如说前文中两个节点、两个粒子的玩具模型)来帮助我们建立直觉,真的巨观系统的结果往往还能有许多变化,而我们之前一直忽略的晶格的几何,也常常对物质相产生影响,类似的故事在之后讨论临界现象时将再次出现。

经历几篇文章的疲劳轰炸,我们已经掌握一些关于费米 Hubbard 模型的小直觉(1)在 \(U=0\) 极限系统没有铁磁性(2)半填满与强交互作用下,相邻的晶格比较偏好反铁磁性。若我们想要探究铁磁性有没有可能在这个模型中发生,第一件事情告诉我们,铁磁性必然跟交互作用有关。事实上数学上也可以证明,假设我们在 \(U=0\) 的极限有明确定义的单粒子能谱,那幺打开交互作用后,交互作用的大小至少要大于整个费米海的深度,才有可能有铁磁性。第二件事情告诉我们,即便有了交互作用,想要获得铁磁性,我们还得远离半填满的状态,也就是我们要考虑一个系统,平均每个节点上没有一个粒子。

从之前培养的直觉得到一些启示后,又一次我们来看看有没有简单的模型,能够帮助我们培养新的直觉并洞悉任何可以产生铁磁性的机制。

Hubbard 模型(四):费米 Hubbard 模型:简单

图三

让我们看看图 三(A) ,在这边我们考虑三个节点,并且在里面放两个费米子,一个自旋向上,一个自旋向下。跟之前的分析都不一样的是,我们考虑允许不同节点间有不同的跃迁常数:在节点 (1) 与 (2) 和节点 (2) 与 (3) 之间,跃迁常数是 \(t’\),而在节点 (1) 与 (3) 之间,跃迁常数是 \(t\)。

乍看之下,这个系统有一个自旋向上,一个自旋向下的粒子,加起来的自旋应该是 0—这并不是故事的全貌,因为我们画的箭头通常是指自旋在 z 方向的投影,因此我们只能说这个组态在 z 方向没有净自旋,我们并没有办法光看着图 2(A) 就决定系统基态的总自旋。在两个自旋 \(\frac{1}{2}\) 粒子组成的系统,总自旋可以是自旋 0 或者自旋 1,前者的 \(S_z\) 毫无选择只能是 0 ,然而自旋 1 可以有 \(S_z=\pm 1,0\),也因此我们要来看这个模型的基态,是自旋 0 ,还是自旋 1。

稍稍插播一点量子力学知识,如图三(A) 一样的组合,需要与两个自旋交换后的状态进行组合,才能变成自旋 0 或者自旋 1。在完整的计算之前,这提供了我们一点线索,集中精神到关键的物理上—我们来看看有哪些机制可以让图 2(A) 中的两个自旋对调。为了方便初步的图解,我们再一次考虑 U 很大的极限(所以忽略掉两个粒子塞到同一个点上的可能性)我们把(一种)完整的步骤画在图 2(B),首先我们让 (2) 的粒子移到 (3),然后把 (1) 的粒子移到 (2),再把 (3) 的粒子移到 (1)。这样三步骤的过程给我们的振幅给我们两个 \(t’\) 跟一个 \(t\)。经验告诉我们 \(t’\) 与 \(t\) 是否同号将会影响计算的结果。

Hubbard 模型(四):费米 Hubbard 模型:简单

图四

然后我们进行认真的计算,考虑任意的 \(U\) 值,这问题基本上不难,是个连笔者都会的 \(9\times 9\) 矩阵。我们在图四A、B 中分别考虑 \(t’,t\) 同号与异号的情况,画出了最低能量态的自旋量子数与最低的两个能量随着 \(U\) 值的变化。我们发现图四B中,基态的自旋基本为 0 ,并且在能量的顺位上并没有什幺变动。图四A则比较有趣,我们发现当 \(U\) 值大于一定程度的时候,最低能量的组态出现了交叉,并且基态的自旋从 0 跳到了 1!也就是存在着产生铁磁性的机制。

这同时也部份验证了我们的直觉:\(t’,t\) 异同号与足够大的交互作用,对于系统的磁性都有关键的影响。

针对于一些简单物理图像的讨论,笔者就暂时打住。下一篇文章开始,让我们尝试研究半填满 Hubbard 模型的量子相变化。

连结:

Hubbard 模型(ㄧ):动机与定义Hubbard 模型(二):玻色 Hubbard 模型Hubbard 模型(三):费米 Hubbard 模型:简单的解析事实(上)Hubbard 模型(四):费米 Hubbard 模型:简单的解析事实(下)Hubbard 模型(五):自旋液体与价键固体

 参考资料:

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